Boole Cebri |
Sayısal Devreler

Boole Cebri, İngiliz matematikçisi olan George Boole'nin 1850 yıllarında Aristonun mantık bilimine sembolik şekil verme isteği sonucunda ortaya çıkmıştır. Geliştirdiği cebir ile sayısal devrelerin analiz ve tasarımı sağlanmaktadır. Bu sistemde yalnızca 0 ve 1'ler yer almaktadır. Binary sistemi de benzer yapıda olmasına karşın asla karıştırılmaması gereken Boole Cebrinin postulat ve aritmetiği hakkında bilgileri sizler için derledik. Ayrıntıları yazımızda bulabilirsiniz...

A- A+

14.05.2015 tarihli yazı 44884 kez okunmuştur.

Sayısal Devreler

Sayısal bilgisayarları, kontrol sistemleri, veri haberleşmesi ve elektronik sayısal donanım gerektiren uygulamaların yer aldığı sistemlerin tasarımında kullanılan devreler sayısal devreler olarak adlandırılır.

►İlginizi Çekebilir: Sayıcı Devresi Nedir? ve Nasıl Yapılır?

Boole Cebri

Cebir diğer matematiksel sistemler gibi sonuç çıkarma prensibine bağlıdır. Bir eleman kümesi, işlem kümesi ve belirli sayıda kanıtlanmamış postulat ile tanımlanabilmektedir. 1854 yılında George Boole, lojiği sistematik bir şekilde ele almak istemiş ve bunun sonucundan günümüzde Boole cebri olarak bilinen bir sistem geliştirmiştir. 1938’ de C. E. Shannon anahtarlama cebri olarak adlandırılan iki değerli bir Boole cebri türü tanıtılarak iki kararlı elektrik anahtarlama devre özelliklerinin bu cebirle temsil edilebileceğini gösterdi.Bu kısımda Boole cebrinin biçimsel tanımı için Huntington tarafından 1904 te oluşturulan postulatları bilip uygulayacağız.

Boole cebiri, şimdi sıralayacağımız Huntington postulatları sağlandığı takdirde,+ ve ikili işlemleri olan bir B kümesi üzerinde tanımlanan cebirsel bir yapıdır.

►+ işlemine göre kapalılık, + ya göre birim eleman 0 olarak belirlenmiştir. x+0=x
►* İşlemine göre kapalılık , * ya göre birim eleman 1 olarak belirlenmiştir. x*1=x
►+ ya göre değişme özelliği x+y=y+x
►* ya göre değişme özelliği x*y=y*x
► *, + üzerinde dağılma özelliği vardır. X*(y+z)= (x*y)+(x*z)
►+,* üzerinde dağılma özelliği x+(y+z)=(x+y)*(x+z)
► Her x elemanı B içi olsun ve x in değili (x’) elemanıdır B’nin böylece (a)x+x’=1, (b)x*x’=0 olur.
► X, y’ye eşit olmadığı sürece en az iki x,y elaman B vardır.

►İlginizi Çekebilir: Entegre Devre (IC) Nedir?

Boolean cebiri elektronik devre tasarımının temel matematiğidir. Bütün elektronik çipler Boolean matematiğine dayanır. Boolean matematiğini bildikten sonra bilgisayarın ve çiplerin nasıl çalıştığını rahatlıkla anlayabiliriz. Eğer elektronik bilgimiz varsa kendi devrelerimizi de tasarlayabiliriz. George Boole 1854 yılında Aristo’nun mantık bilimine sembolik bir hal vermek istedi ve bununla alakalı bir tez yayınladı. “Düşünce Bilimi Üzerine, Olasılıklar ve Mantığın Matematiksel Teorileri Hakkında Bir Araştırma“. Matematiksel bazı kuralları olabilecek iki değerle sınırlayarak (1 ve 0 - doğru ya da yanlış) yeniden kodladı. Oluşturduğu bu sistemi Boolean Cebri olarak tanımlandı.

Boolean işlemlerinde sadece 0 ve 1 kullanılır. 0 ve 1 dışındaki ihtimaller kesinlikle kabul görmez. George Boole den sonra Claude Shannon ise tüm elektriksel sinyallerin 1 (high) ve 0 (low) şeklinde ifade edilerek Boolean cebirinin açık ve kapalı devrelere nasıl uygulanacağını gösterdi. Boolean aritmetiğine geçmeden önce şunu kesinlikle kavramamız gerekir Boolean sayılar ve binary sayılar ayrı şeylerdir. Boolean matematikten farklı bir sistemi varken binary reel sayıların farklı bir yazım türüdür. Bunun farkını kesinlikle bilmemiz gerekir. Binary de 0 ve 1’i yan yana getirerek farklı şeyler elde edebiliriz ama Boolean tek bitle ifade edilir yani 0 ya da 1 dir.

Boolean Aritmetiği

0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 1

4. satıra kadar bildiğimiz matematiksel işlemdir. Fakat 4. Satırda Boolean cebri başlamaktadır. Boolean cebirinde sadece 0 ve 1 kullanıldığını az önce söylemiştik. Bunu dikkate alarak 1+1 ifadesinin kesinlikle 0 a eşit olmadığını ve 2,3 gibi sayılara eşit olamayacağından 1’e eşit olduğunu görmekteyiz. Daha iyi kavramak gerekirse;

1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 = 1
1 + 1 + 1 = 1
1 + 0 + 1 + 1 + 1= 1

►İlginizi Çekebilir: Sinyal İşleme Nedir?

Şimdi lojik kapı bilgilerimize başvuracağız. 0+0=0 veya 0+1=1 eşitliklerin OR gate lerinin doğruluk tablosundan alınmıştır. Biz bunu biraz elektriksel düzenekte işlemek istersek daha iyi anlayabiliriz;

http://sub.allaboutcircuits.com/images/14010.png

http://sub.allaboutcircuits.com/images/14011.png

http://sub.allaboutcircuits.com/images/14012.png

Bu örnekle OR gate’in mantığını daha iyi anlamaktayız.

Boolean cebrinde çıkarma yoktur. Bunun sebebi ise negatif sayıların devreye girmesinden kaynaklanır. Boolean cebrindeki çarpmaya gelirsek bu bildiğimiz matematikten farkı yoktur;

0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1