MATLAB:
Elektrik Devrelerinin Laplace Domeninde Çözümü ve Analizi |
Elektrikport Akademi

Diferansiyel bir denklem elektriksel bir sistemin giriş ve çıkışı arasındaki ilişkiyi gösterebilir. Bu durumda sistemin çözümü zorlaşacağından Laplace domeninde çözüm aranır. Öncelikle iki uçlu devre elemanlarının Laplace domenindeki tanım bağlantılarını verelim. 





Şekil 1: Laplace Dönüşümlerini hatırlayalım


1- Direnç Elemanı

V=R*i zaman bölgesinde olmak üzere s domenindeki tanım bağıntısı;

V(s)= R*I(s) ile gösterilir.

2- Kapasite Elemanı

Kapasite elemanına karşılık gelen matematiksel model;

C*dv/dt=i

Laplace dönüşümünü kullanarak

C*s*V(s)- C*v(0)=I

Bu denklemi düzenlersek;

V(s)= 1/C*S+1/s*v(0)

3- Endüktans Elamanı

Bu elemana ilişkin matematiksel model;

L*di/dt=v

L*s*I(s)-Li(0)=V

 



Başlangıç koşulları sıfır, giriş işareti Vg=2sin(wt) verilen bu devre için bizden kondansatörün üzerindeki gerilimin frekansın 50 Hz ve 60 Hz olduğu durumlar için ayrı ayrı inceleyelim.

Dikkat edilecek olursa kondansantörün üzerindeki gerilim V0 gerilimine eşittir.


250 ohmluk dirençle ile endüktans birbirine seri, bunların toplam empedansı ile de kondansatör biribirine paraleldir. O halde 1. çevrenin sağdan bakıldığındaki empadansını bulmakla işe başlayalım.

Seri durum için: 250+50*10^-3*s(birbirine seri direnç ve empedans)

Parelel durum için: ((s*10^-6)+1/(250+s*0.05))^-1

Parelel durumda kondansatörün empedansı 1/C*s olduğu için takla atması sonucu doğrudan C*s oldu. Seri durum için bulduğum empedansı da takla attırdıktan sonra bu ikisini toplayıp en son yine takla artırdım. Böylece 1. çevrenin sağından bakıldığında görünen empedansı buldum.

Denklemleri düzenleyelim.

Sağdan gözüken empedans: 1/250+s*(10^-6+0.05)

Bu empedansta 1000 ohmluk dirence seri olacaktır.

Vkon= [1000+1/250+s*(10^-6+0.05)]*[1/250+s*(10^-6+0.05)]*Vgs

Son durumuda düzenlersek

Vkon/Vgs= [(250+0.05*s)]/ [(1250+10^-3*s(250+0.05*s)+0.05*s)]

Vgs= 2*w/(s^2+w^2)

O halde Vkon= [(250+0.05*s)]/ [(1250+10^-3*s(250+0.05*s)+0.05*s)]* 2*w/(s^2+w^2)

w=2*pi*f
olduğunu biliyoruz.

f=50 Hz için w=314

f= 60 Hz için w=377

s domeninde çözümü bulduk. Şimdi bunu t domeninde bulmamız lazım.  Yukarıdaki dönüşüm tablosuyla çözümü bulmamız zor bu yüzden Matlab kullanacağız. 

Matlab kodunu yazalım;