Bode Diyagramı Nedir?

Mühendisliğin kontrol alanında adını sıkça duyduğumuz frekans cevabı analizi olan Bode Diyagramı, 1930’lu yıllarda Bode ve Nyquist isimli bilim adamları tarafından geliştirilmiştir. Bu yazımızda Bode Diyagramı’nı sizler için tüm ayrıntılarıyla inceledik.

A- A+

13.07.2016 tarihli yazı 54802 kez okunmuştur.

Bode Diyagramı Kontrol Bode Nyquist Frekans Kazanç Faz

Elektrik, elektronik mühendisliği ve kontrol ile ilgili mühendislik bölümlerinde sıklıkla rastlanan Bode diyagramı, bir sistemin frekans cevabı olarak tanımlanır. Frekans cevabı, bir cihazın çıkışındaki sinyal yapısının girişine uygulanan sinyal yapısı ile uyumluluğunu ifade eden terimdir. Birimi dB olarak tanımlanmıştır. Bode diyagramı iki bileşenden oluşur. Bunlar Bode genlik diyagramı ve Bode faz diyagramıdır.

Bode genlik diyagramı, sistemin frekans cevabının genliğini ifade etmekte olup genellikle desibel ile ölçülür. Bode faz diyagramı ise sistemdeki faz kaymasını ifade etmektedir. Her iki diyagram da frekansın logaritmasının bulunduğu yatay eksene karşı çizilir. Desibel logaritmik bir skala olduğundan Bode genlik diyagramı log-log çizimdir. Bode faz diyagramı ise lin-log çizimdir.

►İlginizi Çekebilir: Otomatik Kontrol Sistemleri "Blok Diyagramlar"

İlk başlarda, Hendrik Wade Bode tarafından 1930’lareda tasarlanan Bode diyagramı sadece asimptotik bir yaklaşımdı. Düz çizgi parçaları kullanılarak frekans cevabı bulunurdu. Daha sonralarda geliştirilerek, günümüzde gerçek frekans cevabına çok yaklaşan diyagramlar bulunabiliyor. Transfer fonksiyonu H(s) olan, doğrusal ve zamandan bağımsız sistemlerin Bode diyagramının genlik ve faz diyagramları içermekte olduğunu yukarıda yazmıştık. Buradaki transfer fonksiyonu H(s)’de gösterilen s laplace domaininde kompleks frekansı ifade etmektedir.

Bode genlik diyagramı, |H(s=j ω)| fonksiyonunun grafiğidir. Bu fonksiyonda ω ile gösterilen frekans, j ise imajiner birimdir. Genlik çiziminin w ekseni logaritmiktir ve genlik desibel cinsinden verilir. Bu da genlik olan |H| ekseninin 20log₁₀|H| ekseninde çizildiği anlamına gelir.

Bode faz diyagramı, arg(H(s=j ω)) transfer fonksiyonunun faz grafiğidir. Bu grafik logaritmik olarak çizilmiş dereceler ekseninde çizilir.

Frekans Cevabı ve Bode Çizimi

Frekans cevabı yönteminde sistem transfer fonksiyonunda 's' yerine 'jω' koyarak sistemin frekans transfer fonksiyonu elde edilir. Burada ω (rad/s) cinsinden açısal frekansı temsil eder. Bu şekilde H(jω) frekans transfer fonksiyonu jω değişkenin bir fonksiyonu olan karmaşık sayı fonksiyonu olarak hem genlik hem de faz açısı olmak üzere bileşene sahiptir. Frekans transfer fonksiyonun ω değişimine bağlı olarak genlik ve faz açısı değerlerinin grafik çizimler ve bu grafiklere bağlı yorumlar frekans cevabı yöntemlerinin esasını teşkil eder.

Transfer fonksiyonu H(s) olan doğrusal ve zamandan bağımsız bir sistem düşünelim. Sistemin girişine frekansı ω olan sinüzoidal bir giriş uygulansın. Giriş fonksiyonunu aşağıdaki gibi tanımlayalım;

u(t) = sin(ωt)

Bu giriş sinyali sisteme sürekli uygulansın. Yani -∞’dan o anki t anına kadar uygulanacak. Sistemin cevabı ise aşağıdaki formda olsun;

y(t) = y₀sin(ωt + φ)

Yukarıdaki cevap, genliği y₀ve giriş sinyaline göre φ kadar faz kayması olan bir sinüzoidal sinyali ifade eder. Cevabın genliği y₀ = |H(jω)|, faz kayması ise φ = argH(jω) olarak gösterilebilir.

Özetlersek eğer, bir sisteme frekansı ωolan bir giriş sinyali uygulandığında, sistem aynı frekansta bir çıkış sinyali üretir. Bu çıkış sinyalinin genliği |H(jω)|ve faz kayması argH(jω)‘dir.

Bode diyagramı çizilirken sırasıyla şu adımlar izlenir:

► Verilen H(s) tyransfer fonksiyonundan FTF’na yani Fourier Transformu alınır. (s=jω)
► Verilen frekans aralığı için FTF’nun genliği hesaplanır ve logaritması alınır.
► Verilen frekans aralığı için FTF’nun faz açısı hesaplanır ve logaritması alınır.

►İlginizi Çekebilir: Kumanda Elemanları

Bode Diyagramlarının Özellikleri

► Geniş bir sahada değişen frekans ve genlikleri bir eksen takımında göstermeye olanak sağlar.
► Bode diyagramlarında, logaritmik genliğin standart gösterimi 1dB = 20log|G(ω) = 10| = 20 şeklindedir.

► Doğrusal sistemlerin açık devre çözümlemelerinde sistemin parçası olan her bir bloğun Bode diyagramı çizilir ve daha sonra bunların süper pozisyonundan oluşan toplam sistemin Bode Diyagramı elde edilir. Böylelikle çarpım şeklindeki ifadeler logaritmik skalada toplamlara dönüşür.

Bode Diyagramlarında “Göreceli Kararlılık” terimi yer almaktadır. Göreceli kararlılık kapalı bir sistemin ne kadar kararlı olduğunu gösterir. Tam tersini düşünürsek, kararsızlığa ne kadar yakın olduğunu ortaya çıkarır. Peki bu göreceli kararlılık nasıl ölçülür?

Göreceli kararlılık konusunda iki tane terim vardır. Bunlar:
► Kazanç Marjini (Gain Margin: GM),
► Faz Marjini (Phase MArgin: PM)’dir.

Kazanç Marjini, kapalı sistemin kararlılığı bozulmadan açık döngü sistemin kazancını ne kadar daha arttırabileceğimizi gösterir.
Faz Marjini, kapalı sistemin kararlılığı bozulmadan açık döngü sistemin fazına ne kadar daha faz ekleyebileceğimizi gösterir.

Kazanç Marjini (GM) hesabı:
Faz grafiği üzerinden eğrinin -180°yi kestiği noktadaki frekans değeri okunur. Bu değer faz geçiş frekansı(ω_pc)’dır.
Ardından genlik grafiğine giderek ω_pcfrekansındaki genlik değerinin 0dB’e olan uzaklığı ölçülür. Bu değer GM’dir.

Faz Marjini (PM) hesabı:
Genlik grafiği üzerinden eğrinin 0dB’i kestiği noktadaki frekans değeri okunur. Bu değer kazanç geçiş frekansı(ω_gc)’dır
Ardından faz grafiğine giderek ωg_cfrekansındaki faz değerinin -180°ye olan uzaklığı ölçülür. Bu değer PM’dir.