Akı (Flux) Nedir? |
Vektör Kalkülüs'ü Anlamak - 1. Bölüm

Vektör kalkülüs (calculus), üniversitenin meşakkatli yollarında matematik, fizik ve mühendislik öğrencilerinin devrelerini yakan bir alandır. Bu alanda birçok denklem üç boyutlu uzayda bir araya gelir ve çoğu zaman bir anlam ifade etmez. Bu konular sınavda başarılı şekilde geçilse bile, gerçekte ne anlam ifade ettiği genellikle tam olarak anlaşılmaz. Vektör Kalkülüs'ü Anlamak yazı dizimizde sizlerle akı, diverjans, gradyan, curl (rotasyonel) gibi temel olduğu kadar kilit noktaları inceleyeceğiz ve bu konuları mantığımıza oturtacağız. Bu yazı dizisinden sonra vektör kalkülüs kimsenin başını ağrıtamayacak, artık hiç bir şey eskisi gibi olmayacak. Öyleyse buyurun ilk yazımız "Akı Nedir?" sizlerle.

A- A+

26.02.2015 tarihli yazı 37045 kez okunmuştur.

Vektör Kalkülüs Vektör Akı Matematik Fizik Mühendislik İntegral Türev Elektromanyetik Alan

Eğer akıyı mantığımıza oturtursak, formülleri ezberlememize gerek kalmayacaktır. Bunu yaparken, tam olarak anlamakta güçlük çekilen iki nokta vardır.

► Akı, bir yüzeyi delip geçen her hangi bir şeyin miktarıdır. Burada "şey" kelimesi yerine elektrik alan, manyetik alan gelebildiği gibi rüzgar, su hatta muz bile gelebilir.

► Toplam akı; alanın gücüne, alanın içinden geçtiği yüzeyin büyüklüğüne ve bu yüzeyin oryantasyonuna (yönelim) bağlıdır.

Akı Fiziksel Olarak Ne İfade Eder?

Akıyı anlatmak için kitaplarda göz önüne getirmesi kolay olmayan elektrik alan gibi konseptler kullanılır. Bu yazımızda akıyı açıklamak için daha akılda kalıcı olacağına şüphe olmayan muz örneğini kullanacağız.

Birkaç maymun tarafından devamlı olarak muzların fırlatıldığını düşünelim. Muzların akısını ölçmemiz için bilmemiz gerekenler:

► Muzların içerisinden geçeceği yüzeyin şekli, büyüklüğü ve oryantasyonu

► Akının kaynağı (vektör alanın gücü yönü yani muzların atılma yönüdür.)

Vektör alanın şiddeti önemlidir. Bir çanta dolusu 5 TL'lik banknot yoksa 200 TL'lik banknot mu tercih edersiniz? Aynı şekilde akının büyüklüğünde maymunların fırlattığı muzların büyük ya da küçük olması da akının büyüklüğünü etkiler.

Vektör Alanı: Akının kaynağıdır. Muz örneğimizde vektör alanımız yani akının kaynağı maymunlardır. Aynı şekilde kuvvet uygulayan yer çekimi ve elektromanyetizma da vektör alanı akının kaynağı olabilir.

Yüzey: Akının içerisinden geçtiği ya da etkidiği sınırlardır. Bu sınır küre, yüzey ya da bir sepetin üstü olabilir. Vektör kalkülüs'te bu sınırlar fiziksel olarak yoktur, bu sınırları hayal ederiz.. Bir sepetin üstünde bir çember vardır ancak içerisi boştur, dolayısıyla ortasında gerçekte bir şey yoktur. Tanımlanan çemberin içerisinden geçen akıyı düşünürüz.

Zamanlama: Akı, zamanda tek bir noktada yani tek bir anda ölçülür. Yani zamanı durdururuz ve tam şu anda benim yüzeyimden ne kadar muz geçiyor diye sorarız.

Ölçüm: Akı bir toplamdır. Alan başına düşen ya da hacim başına düşen bir konsept değildir.

Akı, yüzeyde hissettiğini toplam etki gibi açıklanabilir. Halkanın içerisinden o an için geçen toplam muz ağırlığı gibi düşünebiliriz. Eğer attığımız muzlar büyükse bu akının daha fazla olmasını sağlayacaktır.

Akı Nelerden Etkilenir?

Kaynak, toplam akı üzerinde önemli etkiye sahiptir. Bir yerine iki maymunun muz fırlatması akıyı da iki katına çıkarır.

►İlginizi Çekebilir: Matematikçilerin Prensi | Carl Friedrich Gauss

Toplam akının bağlı olduğu bir başka faktör vektör alanın ve yüzeyin yönelimi, yani oryantasyonudur. Maymunlar muzları fırlatırken içerisinden geçirmeye çalıştıkları halkayı eğersek, içeriye giren muzlarda azalma olacağından akı da azalacaktır. Halkayı fırlatma yönüne paralel olacak şekilde artık halkanın içinden muz geçemez ve akı sıfır olur.

Yüzey genişliği, yani halkanın büyüklüğü de akı üzerinde etkilidir. Daha büyük bir halkadan daha çok muz girer ve akı artar.

Pozitif ve Negatif Akı Nedir?

Üstü ve altı tamamen açık bir küp kutuyu çeşmenin altında tuttuğumuzda, akı ne olur? Cevap sıfırdır.

Kapalı bir yüzeye giren akı, negatif akıdır. Yüzeyi terkeden akı ise pozitif akıdır. Burada yüzey olarak bahsettiğimiz etrafı kutunun ayrıtlarıyla sınırlanmış bir boşluk olmaktadır.

Bu durum biraz kafa karıştırıcı olabilir ancak orada bir yüzey olduğunu hayal ediyoruz.

Örneğimizdeki kutuya yukarıdan girecek akı negatif akıdır, yani -X'tir. Aşağıdan çıkan akı ise pozitiftir yani +X'tir. Bu akıları topladığımızda kutu için akı 0'dır.

Peki ya çeşmeyi daha çok açarsak ve böylece belirli bir t anında daha çok miktarda su kutuya girse sonuç değişir mi? Sonuç değişmez, çünkü görselimizdeki mavi ve kırmızı yüzey alanları eşit olduğu sürece kutuya giren ve çıkan akılar eşit olacaktır.

Örneğimizde net akı 0 olsa da, bu durum kutuya hiç akı girmemesiyle aynı değildir. Eğer akılar birbirini sıfırlıyorsa, yüzeyin şekli ya da oryantasyonu değiştiğinde ortaya 0 olmayan bir akı çıkabilir ancak kutuya hiç akı girmiyorsa kutu şekli ya da oryantasyon değişse de toplam akı yine 0 olur.

►İlginizi Çekebilir: Gauss Kanunu | Elektromanyetik Alanlar Teorisi 1. Bölüm

Matematiksel Olarak Nasıl İfade Edilir?

Fiziksel anlamdan sonra sıra matematiksel ifadeyi türetmeye geldi. Çoğu durum için akı kaynağı, vektör alanı olarak ifade edilir. Verilen bir (x,y,z) noktası için akıyı tanımlayan vektörü bulacağız.

Matematiksel ifadeyi çıkarırken, vektör alanın ne kadarının yüzeyimize girdiğini büyüklük, oryantasyon ve genişlik parametrelerini ele alarak buluruz.

Fiziksel anlamda elde ettiklerimize göre toplam akı şu şekilde olmalıdır:

Bu formül, vektör alanın her yerde aynı büyüklüğe sahip olduğunda geçerlidir. Vektör alan her noktada aynı değil ise; şu adımları izleriz.

► Yüzey küçük parçalara bölünür.
► Her parçadaki akı bulunur.
► Küçük akı birimleri toplanarak toplam akı elde edilir. (İntegral)

Akının maksimum ve 0 olduğu oryantasyonlara değinmiştik. Görselimizde de bunu somut olarak görüyoruz.

Peki ya yüzeyimiz kısmen döndürülmüş olursa? Bu durumda, vektör alanının yüzeye izdüşümünü ifade eden nokta çarpımından (dot product) faydalanırız. Nokta çarpımı 0 ile 1 arasında, vektör alanın yüzde kaçının yüzeyden geçtiğini belirten bir sayı verir. Böylece;

Ders kitabımızda göreceğimiz şekliyle ise:

Peki ya normal vektörünü nasıl buluruz?

Bir düzlem yüzey için, normal vektörü her yön için aynıdır. Küre için ise normal vektörü, r - pozisyon vektörü ile aynı yöndedir.

Akı, matematikte, elektrikte ve manyetikte çok önemli bir yere sahiptir. İlerleyen içeriklerimizde işleyeceğimiz konulara kıyasla anlaması daha kolaydı. Bir sonraki içeriğimizde diverjansı mantığımıza oturtmaya çalışacağız.

Kaynak:

►BetterExplained