Millman Teoremi Nedir?

Literatürde çok fazla sayıda devre analiz yöntemleri bulunmaktadır. Birden fazla gerilim kaynağı içeren devrelerde genellikle Millman Teoremi tercih edilir. Peki Millman Teoremi nedir?

A- A+

12.03.2022 tarihli yazı 3894 kez okunmuştur.

Devre analizi denilince akla birçok farklı ağ teoremi gelmektedir. Bunlardan biri de özellikle birden fazla gerilim kaynağı içeren devrelerde tercih edilen Millman teorisidir. Bu tarz devrelerde kullanışlı bir yöntem olan Millman, her gerilim kaynağı ve kendi özel dirençleri için akım üretmektedir. Üretilen akımın tamamı, tüm akımların toplamına eşit olmaktadır. Millman devrelerini oluşturmak için reaktans olmaksızın dirençler kullanılabilir. Millman’ın eşdeğer devresinin analizini gerçekleştirmek için yük devre dışı bırakılarak, gerilim kaynaklarının kısa devre ile değiştirilmesi gerekmektedir.

Thevenin ve Norton teoreminin karışımı olarak karşımıza çıkan Millman, yalnızca paralel olarak bağlanan gerilim kaynaklı karmaşık devrelerin basitleştirilmesinde oldukça önemlidir. Literatürde parelel jeneratör teoremi olarak da karşımıza çıkmaktadır. Millman teoreminde, devre şeması her dalda bir direnç içermektedir. Paralel ağ veya bir direncin gerilim kaynaklarıyla kombinasyonu gerçekleştirilerek ilgili devre yeniden çizilmektedir.

Kısaca özetlemek gerekirse Millman teoreminde, girilen ve çözülen tüm gerilimler devrede aynı noktada polarite referanslıdır. Bu nedenle tipik olarak paralel ağın alt kablosu görevi görmektedir. Her dalın kendi seri direnç ve gerilim kaynağına sahip olduğu paralel bağlı dalları olan herhangi bir devreye uygulanan teorimin denklemi aşağıda belirtildiği gibidir. Bu denklemde e_kgerilim üretecini temsil ederken, R_k dallardaki gerilim üreteçlerinin direncidir.

V= Toplam(e_k/R_k)/Toplam1/R_k =(E_B1/R₁+E_B2/R₂+E_B3/R₃)/(1/R₁+1/R₂+1/R₃)

Örnek olması açısından aşağıda belirtilmiş olan Millman devresinde pil vb. gerilim kaynakları B₁, B₂ ve B₃; dirençler ise R₁, R₂ ile R₃şeklinde gösterilmiştir.

Şekil 1: Millman Teoremi Devresi

►İlginizi Çekebilir: Schmitt Tetikleyici Devresi Nasıl Çalışır?

Aşağıda sayısal değerlere sahip başka bir örnek bulunmaktadır.

►İlginizi Çekebilir: Crowbar Devresi Nedir & Nasıl Çalışır?

Bu devre;

V’ = V₁G₁+V₂G₂+-----+V_nG_n/G₁+G₂-----G_n

R₁=1/G₁+G₂--------G_n

denklemleri kullanılarak çözülürse aşağıdaki sonuç elde edilmektedir:

(20 V/4 Ohms + 0 V/2 Ohms + 6 V/1 Ohm) / (1/2 Ohm + 1/2Ohm + 1/1Ohm)

(20 + 0 + 24/4) / (4/2) = (44/4) / (4/2) = 11/2 = 5.5 V

Aşağıdaki devrede ise direnç voltaj düşmeleri gösterilmiştir. Her bir dirençteki voltajın polaritesinin ve büyüklüğünün sonuçlandırması seri bir şekilde voltaj eklenmektedir.

E_R1= 5.5 V - 20 V = 14,5 V

E_R2= 5.5 V – 0 V = 5.5 V

E_R3 = 5.5 V - 5 V = 0.5 V

Şekil 2: Paralel Dallarda Gerilim

Dal akımlarının çözülmesinde ise her bir dirençteki voltaj düşümü tespit edilmektedir. Bu işlem I = E/R formülü ile gerçekleştirilmektedir.

I_R1 = 14.5/2 = 7.25 A

I_R2= 5.5/2 = 2.75 A

I_R3= 0.5/1 = 0.5 A

Devrelerdeki akımın yönü dirençlerin sahip olduğu polarite yardımıyla bulunmaktadır. Ama bu akım akışının pilin kullanılmasıyla beraber geri itici etkisi nedeniyle her pildeki polarite kullanılamamaktadır.

Şekil 3: Akım Akış Yönü

Devre analizi ile uğraşta oldukça yardımcı olan Millman teorisinin, oldukça geniş bir uygulama alanı vardır. Bunlardan biri gerilim kaynağının akım kaynağına dönüştürülmesi sırasında gerçekleşir. Bu işlem bir dizi akım ve gerilim kaynağına sahip devrelerde kullanılırken tersi de geçerli durumdadır. Bir başka uygulama alanı ise karmaşık devre topolojisini belirtmek üzerinedir. Bu sayede op-amp bakımından zengin devrelerin topolojisi Millman teorisi yardımıyla gösterilebilmektedir. Millman aynı zamanda yeterli bir dizi paralel dal boyunca gerilim belirlenmesinde de kullanılabilmektedir. Böylece seri-paralel indirgeme gibi bir yöntemin kullanımın önüne geçilmektedir.

Birçok uygulama alanından söz etmiş olduğumuz Millman’ın avantajları arasında anlık denklemlerin ihtiyaç duyulmadığı zamanlar sağladığı kolaylık da bulunmaktadır. Bunun dışında eş zamanlı denklemlerin kullanımını da gerektirmektedir. Ancak tabiki teoremin bazı olumsuz yanları da bulunmaktadır. Bunlardan ilki, bağımsız kaynak arasında empedans içeren devrelerde kullanılamamasıdır. Yine aynı şekilde bağımsız kaynakla arasında bağımlı kaynak bulunması halinde de teorem tercih edilememektedir. Bunlara ek olarak, iki bağımsız kaynak içerdiğinde de teoremin uygulanması mümkün değildir. Yani Millman teoreminin uygulanabilmesi için ilgili forma uyup yeniden çizilmesi gerekir. Diğer bütün ağ analiz yöntemlerinde de olduğu gibi ilgili teori, kolaylık sağladığı devreler için mükemmel bir çözüm yöntemidir. Ancak bütün durumlar için mükemmel işleyecek bir çözüm yöntemi imkansızdır.

Kaynak:

► towardsdatascience.com
► medium.com
► analyticssteps.com