Sayısal İşaret İşleme Konvolüsyon

Bulunduğu kategoriye bakılmaksızın bütün bu elektronik cihazlar, bir sinyal gönderme ve bunu işleme gibi çok temel bir fonksiyona sahiptir. Bu yazımızda DSP (sayısal işaret işleme) kavramını inceleyerek farklı bir bakış açısı sunacağız.

A- A+

21.06.2017 tarihli yazı 36629 kez okunmuştur.

Sadece bir sinyale sahip olmak yeterli mi?

Bu sorunun cevabına kesinlikle evet diyemiyoruz. Biz bir sinyale sahip olduğumuzda öncelikle zamanın herhangi bir anında onları işleme ihtiyacıda duymaktayız. Sinyal üzerinde yapılan tüm işlemler “Sinyal İşleme” olarak adlandırılan geniş bir inceleme alanı oluşturmaktadır. Sinyallerin işlenmesindeki karmaşıklığa bağlı olarak sinyal işlemlerini iki geniş kategoride sınıflandırabiliriz;

► Toplama ve çıkarma gibi temel sinyal işlemleri
► Korelasyon ve filtreleme gibi gelişmiş sinyal işlemleri

Konvolüsyon Nedir?

Konvolüsyon gelişmiş bir sinyal işleme tekniğidir. Bu terimin basit bir şekilde tanımlandığında: "bobin veya bükülme" anlamlarına gelmektedir. Fakat, kullanacağımız tanım değilsede sinyalleri kıvrılma (bükülme) açısından ele aldığımızda benzerlikler içermektedirler.

Bunun nedeni, x1 [n] ve x2 [n] 'nin gibi iki sinyalin kıvrılmasına ilişkin adımlar şunlardır:

Sinyallerden birini değiştirmeden tutun ( x1[n] ) diğerini ise zaman ekseninde çevirin. Çarpım yapılırken x2 [n]'i x1 [n] boyunca kaydırın her bir zaman aralığında çarpım sonucu oluşan ifadeleri toplayın.

Aşağıdaki şekilde x1 [n] = {2, 0, -1, 2} ve x2 [n] = {-1, 0, 1} gibi iki ayrık zaman sinyali üzerinde gerçekleştirilen böyle bir konvolüsyon işlemine bir örnek gösterilmektedir. Burada birinci ve ikinci satır sırasıyla x1 [n] orijinal sinyal ve x2 [n] sinyalin zaman ekseninde çevrilmiş versiyonunu ifade etmektedir.

Şekil:1

►İlginizi Çekebilir: Sinyal İşlemede Matematiksel İşlemler

Ardından, ilk iki satıra ait örtüşen örneklerin çarpımını (mavi yazı tipi ile yazılan değerler) içeren üçüncü bir satır meydana gelir. Son olarak, şekilde kırmızı yazı tipi ile yazılmış ifadeleri de ekleyerek konvolüsyon sinyal örneğini elde etmiş olduk. Böylece, kabul edilen örnekte, y [n] = {-2, 0, 3, -2, -1, 2} olmak üzere konvüle edilmiş bir sinyal bulunur.

Matematiksel İfadesi

Matematiksel olarak konvolüsyon denklemi korelasyon denklemiyle büyük benzerlik göstermektedir. Bununla birlikte, korelasyondan farklı olarak konvolüsyon, sinyallerden birini ters çevirmeyi içerir. Bu zaman dönüşümü (t - τ) olarak temsil edilebilir. Burada τ zamanı anında düşünülür.

Sonuç olarak, sürekli zaman sinyalleri için x1 (t) ve x2 (t)’nin konvolusyon işlemini aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

Eş zamanlı olarak, ayrık zaman sinyalleri için,

Uygulamaları

Bilinmeyen bir sistemi karakterize etmemiz gereken bir durumu düşünelim. Bu önemlidir, çünkü sistemin işleyişine dair bir fikir edinmemize yardımcı olur. Bir sistemi karakterize etmenin yolu, frekans transfer fonksiyonu veya frekans spektrumu olarak ifade etmektir.

Bu amaca ulaşmak için, sisteme frekanslar (örneğin tarama jeneratörleri kullanılarak üretilen) uygulanmakta ve farklı frekanslarda sistemin tepkisi elde edilmektedir. Her bir frekans için eşit genlik ve faz korunuyorsa, ilgili çıkışlarda gözlemlenen her türden genlik ve faz varyasyonlarının sistemin özelliklerini gösterdiğine karar verebiliriz. Bu cevapların birikimli sonucu, sistemin frekans transfer fonksiyonu olacaktır.

Şekil: 2

►İlginizi Çekebilir: Jammer (Sinyal Bozucu) Nasıl Çalışır?

Ancak, bu sorunun üstesinden gelmenin bir yolu daha var. Bir delta fonksiyonunun Fourier dönüşümü, tüm frekans aralığı için “1” sabit değerine sahip düz bir frekans spektrumuna sahip olduğunu hatırlayın. Bu, sisteme empoze etmek için tüm olası frekansları üretmek yerine, giriş olarak tek bir delta fonksiyonu kullanabileceğini gösterir.

Giriş sinyalindeki değişim modu, üzerinde gerçekleştirilen işlemde değişikliği yapılmasını da gerektirir. Bu yeni sinyal işlemi ise konvolüsyondur. Bunun nedeni, konvolüsyon teoreminde frekans domeni zaman domeni içerisinde konvole edilecektir. Dolayısıyla, frekans domenindeki tüm frekansları kullanarak elde ettiğimiz sonuç, zaman etki alanında kıvrım işlemi ile birlikte delta fonksiyonu kullanarak elde ettiğimiz sonuç ile aynıdır.

Sistem doğrusal ve zamana bağlı değildir (LTI), bir impuls girişine verdiği yanıt, Şekil 2'den de görülebileceği üzere transfer fonksiyonunun özelliklerini tanımlamak için yeterlidir

Bir LTI sisteminin girişinin bilinmesi durumunda çıktısının belirlenmesi

Şimdi, sistemimizin doğrusal olduğunu varsayalım ve girişinde tek ölçekli bir sinyal ile beslendiğini düşünelim. Bu durumda, sistemin çıktısının, girişe eşit derecede ölçeklendirilmesi hariç, Şekil 2'de elde edilen sistem tepkisi ile aynı olacağını görebiliriz. (Şekil 3'ün en sağ tarafı).

Şekil: 3

Sonra, sistemin zaman ile değişmez özelliğini sergilediğini varsayalım. Böyle bir durumda, zaman ekseni boyunca kayan bir impuls verirsek, sistem impuls cevabının eşit miktarda kaydırıldığı bir çıktı üretecektir (Şekil 4'te gösterilmiştir).

Şekil-4

Sistem LTI ise, girişindeki ölçekli olarak kaydırılmış impuls fonksiyonu çıkışında ise aynı şekilde kaydırılmış impuls cevabı üretecektir. (Şekil 5)

Şekil: 5

Hepimizin merak ettiği soru ise niye bu noktaya odaklandığımız. Cevap vermeden önce, çoğunuzun aşina olduğunuz sinyalle ilgili önemli bir detaya bakalım. Herhangi bir sinyal, ünite uyarıları veya dirak-delta fonksiyonlarıyla yoluyla ifade edilebilir.

Sinyal ifadesi ile ilgili bu gerçek, herhangi bir sinyalin zaman içinde kayan ölçekli bir dürtü fonksiyonları dizisi olduğuna işaret eder. Bununla birlikte, bu dürtü işlevlerinin her biri için, tepkiyi bildiğimiz takdirde sistemin davranışını öngörebiliriz.

LTI sistemleri, süperpozisyon yasasına uyduğundan, tüm bu bireysel sistem yanıtlarını ekleyebiliriz. Bu işlemle elde edilen sonuç, giriş yapıldığında, sistemin çıktısı olacaktır.

Örneğin, bir giriş sinyali {-1, 2, 1} alırsak, bu üç bağımsız sıraya ayrılabilir: -1 , 0 zaman sabiti boyunca konumlanır. Diğer büyüklük olan 2, 1 boyunca, son olarak da 1 ise 2 zaman sabiti boyunca konumlanır.

Şekil 6’da Tablo 1'de değerlere karşılık gelen zaman sabitleri, Tablo 2’de ise çıktılar gösterilmiştir.

Şekil: 6

Son olarak, sistemin genel çıktısını elde etmek için Tablo 2’nin son satırında ise her zaman sabitine karşılık gelen durumlar incelenmiştir. Bu sonuç giriş bu değerlerle beslendiği durumda elde edilir.

Darbe tepkisini bildiğimiz takdirde, konvolüsyon kullanarak herhangi bir LTI sisteminin çıktısını etkin bir şekilde bulabiliriz.

Kaynak:

►allaboutcircuits