Lehmer Sieve |
Matematiğin Gizemli Bilgisayarı

Lehmer Sieve, sayıları asal çarpanlarına ayırmak ve basit Diyofantus Denklemleri’ni çözmek için 1926’lı yıllarda tasarlanmış ve zamanla geliştirilip farklı modelleri oluşturulmuş ilkel bilgisayardır. Bu yazımızda Derrick Norman Lehmer ve oğlu Derrick Henry Lehmer tarafından matematiğin gizemli dünyasındaki bilinmeyenleri aydınlatmak için oluşturulmuş aracı inceleyeceğiz.

A- A+

06.01.2016 tarihli yazı 10183 kez okunmuştur.

Matematik Bilgisayar Denklem Lehmer Sieve Hesap

Lehmer Sieve’nin Hikayesi

19 Ekim’de küçük bir grup matematikçi Kaliforniya Pasadena’da bulunan "Burt Laboratuvarları"nda, bir matematik problemini çözebilmek için gizemli bir makine etrafında toplanmışlardı. Bu ifadesi oldukça basit bir problemdi. Birbirleriyle belli şartlar altında çarpıldığında sonucu 5.283.065.753.709.209 olan iki sayı bulmak hedefleniyordu. Herhangi bir insanın bu işlemi yapabilmesi için birkaç yüzyıl boş zamanı olması gerekiyordu.

► İlginizi Çekebilir: Matematiksel İmkansizlıklar

California Üniversitesi’nde matematik profesörü olan Derrick Norman Lehmer’in oğlu matematikçi genç mucit Derrick Henry Lehmer, makinenin karmaşık dişlilerini ayarlayarak “Burada bilinmeyene doğru gidiyoruz” dedi. Artık laboratuvarda bulunan insanların gözlerinin hızla dönen tekerlekleri izlemek dışında hiçbir işlevi kalmamıştı. Bütün gözler problemin çözüldüğünün sinyali olan ışık demetinin tekerlekteki belirlenmiş deliğe düşmesini ve dönüşün durmasını bekliyordu.

► İlginizi Çekebilir: Optik Bilgisayar Nedir?

Genç mucit “Hızlı hesaplama tamamlandı” dedi. Fakat gruptaki matematikçilerden birisi “Alet 10 milyona yakın sayı denemek zorunda. Bu bir insanı baz aldığımızda her bir sayı için 6 dakika harcanması demektir. Makinenin yaptığı işi insan yapmaya kalksa problem 60 milyon dakikada yani bir milyon saatte çözülecekti. Kimse böyle bir şey üzerinde günde 10 saatten fazla çalışamaz. Bu yüzden çözebilmek için yüzbinlerce gün gerekir. Eğer tükenip bitilmezse 300 yılda yapılabilir. Bu makine 10 milyon sayıyı nasıl böylesine hızlı hesaplayıp listeleyebiliyor” diyerek genç mucide merakla bakıyordu. “Yüzbinlerce çözüm bir dakikaya denk geliyor” diyerek cevapladı genç adam.

“Bu sorunu çözmek yaklaşık 1-1,5 saat alabilir. Gelişmiş bir sürüş motoru ile 20 dakikaya indirilebilir. Elektrik gözler 5 kat daha hızlı çalışmasını sağlayacaktır” diyerek devam etti. Aniden bir klik sesi duyuldu ve güç kesildi. Makine bir şeyler bulmuş olmalıydı. Makine yavaş yavaş geri döndü ve zayıf bir ışık süzmesi tekerlekteki delikten görüldü. Sonra bazı kadranlar ve sesler incelendi ve iki sayı bulundu. Delikler ışığı net bir şekilde alması için tekrar hareket ettirildi. Bu 25 dakikada geçen her şey bir gözlemci tarafından rapor edildi. Asistan Rebecca ışığı gördü ve makineyi tamamen durdurdu. Işık süzmesi tekrardan bir sayının karesiyle diğerinin karesinin 7 katının toplamı 5.283.065.753.709.209 olan iki sayıyı bulmak için konuşlandırıldı. Makine görevini yapmıştı. İki sayıya ihtiyaç vardı. Birkaç dakika daha hesaplama devam etti ve laboratuvarda kahveler servis edilirken bu iki sayı 59,957 ve 88.114.244.437 olarak belirlendi. Bu iki gizli sayı çarpıldığında istenilen sonuca ulaşılıyordu. Bu gelişme, matematikçilerden, sokaktaki sıradan insana kadar heyecanla karşılanmıştı. Şu an kullandığımız bilgisayarların atalarından kabul edilen Lehmer Sieve’lerin ilki görevini yapmıştı.

İlkel Bilgisayarın Geliştirilme İhtiyacı

Tüm bunlardan sonra daha büyük sayılarda işlem yapma isteği doğdu. Çok büyük bir sayı olan "i" çarpanlarını inceleme ihtiyacı ilkel bilgisayarın geliştirilmesini gerektiriyordu. Bu çarpanlardan biri 19 haneli 3.011.347.479.614.249.131 sayısıydı. 300 yıl önce Fermat tarafından bu sayının asal mı bileşik mi olduğunu karakterize etmek için çok güçlü bir test uygulansa da başarısız olunmuştu. Makinenin bu sorunu çözebilmesi için 5 yıl boyunca hassas testler yapıldı. Şimdilerde ise bu denli büyük sayıları basit şekilde çarpanlarına ayırmak için algoritmalar geliştirilmiştir.

Makinenin Çalışma Prensibi ve Geliştirilmesi

Fotoelektrik hücrelerin sihrini kullanarak bu uzak sayılara ulaşabilmek için ilk girişim Pasadena’daki makineyle yapılmıştır. Bundan 5 yıl önce bisiklet dişli çarkları denen farklı uzunluktaki zincirlerle çalışabilen bir basit makine inşa edilmişti. Dişli tekerlekler dönen bir mil üzerine sağlam bir şekilde monte edilmiştir. Dişli tekerlerin üzerinde belirlenmiş noktalara yerleştirilmiş çubuklar bulunmaktadır. Zincirler dönerken çubuklar elektrik anahtarlarını kapatacaktır. Tüm anahtarlar aynı anda kapandığında elektrik devresi tamamlanacak ve makine duracak ve çözüm bulunacaktır. Bu makine ilk haliyle dakikada birkaç yüz devir yapma kapasitesine sahipti.

Makine iki saat çalıştığında 9.999.000.099.990.001'i iki çarpanı 1.676.321 ve 5,964,848,081'e ayırabiliyordu. Yöntemle daha fazla hıza ulaşıldığında daha güçlü ve işlem kapasitesi daha yüksek bir makine yapılabileceği gözlemlendi. Washington Carnegie Enstitüsü işbirliği ile birçok zorluklara rağmen 1932 yılında yeniden inşa edilen cihaz, dişliler kullanılarak daha üstün bir performansa kavuştu.

Değişik çaplardaki çelik dişliler üzerine yerleştirilmiş dişli jantlar ve zincirler diğer dişlilerin dişleriyle birbirlerine geçirilerek sert çelik şaft üzerine monte edildi. Zincirler üzerindeki çubuklar dişliler üzerindeki deliklerden geçen ışınlarla değiştirildi. Verilen problemlere göre bu deliklerden bazıları açılıp kapatıldı. Çözümün sinyali olan açık deliklerde bir hizalanma olduğunda ışık bu delikten geçerek saniyenin on binde biri kadar sürede fotoelektrik hücreye düşüyordu. Bu sonsuz küçüklükteki uyarı etkisi fotoelektrik hücre tarafından amplifikatöre (yükseltici) gönderilerek 729.000.000 kat büyütülüyordu. Bu artırılmış etki makinede dolaşan akımı kesip dönen tekerleri durma noktasına getirmek için yeterince güçlüdür. Toplam devir sayısı daha sonra sayıcı bir ataçta okunarak çözüm elde edilmiş olur.

Basit ayar hatalarıyla makineyi tamamıyla enkaza çevirecek birçok tehdit de bulunuyordu. Işık ışınını çok düşük bir uyarma etkisiyle başlatmak, fotoelektrik hücrenin bulunduğu döngüdeki zaman ve makinenin tüm mekanik detayının çok ince bir şekilde ayarlanması gerekiyordu. Üstelik cam fanus içindeki amplifikatör dış etkilere karşı çok hassastı. Elektrik akımındaki küçük varyasyonlar yanlış sonuçlar alınmasına sebep olabilirdi. Amplifikatör, dönen dişlilerden ağır bir tuğla duvar ile ayrılan başka bir odaya yerleştirildi ve celotex (izolasyon materyali) bir tabut içine konuldu. Bu işleri daha iyi hale getirdi fakat yine de beklenmedik sinir bozucu olaylar devam ediyordu. Çok iyi bir şekilde çalışan cihaz aniden tutarsızlaşıyordu. Çevrede kayda değer bir değişiklik olmamasına rağmen bazen doğru sonuçlar veren cihaz bazen yanlış sonuçlar alınmasına sebep oluyordu. Cihaz incelenmesine rağmen belirtilerden hiçbir şey anlaşılamamıştı.

Bu bir doktorun hastasını tedavi ederken sorunu çözmeye çalışmasına benziyordu. Beyhude düzeltme ve ayarlamalarla günler geçti. Organik olarak hiç bir şey yanlış gözükmüyordu. Yine de doktor bu ilginç hastadan vazgeçmek istemiyordu. Stetoskopunu kullandığında makinenin bir yerinden yüksek bir ses duydu. Hastalığın kaynaklandığı yeri keşfetmişti. Sonra çok yakındaki bir radyo istasyonundan kısa bir radyo dalgası geldiğinin farkına vardı. O sessizken yani radyo dalgası gelmediği zamanlarda her şey çok iyi gidiyordu. Dalga geldiğinde elektrik gözde kırmızı yanıyordu ve amplifikatör spazma giriyordu. Radyo yayını olduğunda makine iyi çalışmıyor ve radyo sinyalleri amplifikatörde beklenmedik etkilere sebep oluyordu.

Sorunların keşfiyle birlikte makine sayıların teorisi üzerine gerçek işler yapmaya başlamıştı. Şimdi makineye gerçekten zorlu bir görev veriliyordu. +1 sayısının çarpanı olan yıkılmaz bir kale gibi duran 1.537.228.672.093.301.419’un çarpanlarını bulmak hedefleniyordu. Makine çalıştı ve kısa sürede dönen tekerleklerin yanındaki göz işareti yanarak makine durdu. İncelemeler tamamlandı ve ikilik tabandaki sayı muhteşem bir şekilde 529.510.939 ve 2.903.110.321 olarak çarpanlarına ayrıldı. Çeyrek yüzyılın bu eseri zamanın 1/4'ü sürede tamamlanmıştı.

Matematiğin Gizemlerini Çözmeye Çalışmak

Bizler astronomi gibi bilim alanlarında çalışırken bizi şaşırtacak büyüklükteki sayılarla uğraşmaktayız. Örneğin, mesafe ölçmek için “ışık yılını” normal yol ölçüleriyle kıyasladığımızda korkutucu büyükteki sayılarla karşılaşırız. Bu miktarlar astronomik uzaklık birimi olarak yaklaşık 6.000.000.000.000 millik sayı doğrusu gerektirir ki ekstra galaktik sistemlerde bilim insanları bu doğrunun 3 katını kullanmaktadırlar. Bu büyük mesafeleri, yıldızların yapılarını, gezegenlerin konumlarını muhteşem büyüklükteki sayılarla hesaplamak güçlü makineler ve güçlü teoremler olmadan neredeyse imkansızdır.

Matematik insanların doğayla iletişime girmesini sağlayan gizemli gizemli bir dildir. Bizler bu dili kullanarak doğanın bize anlattıklarını anlamaya ve onlardan bir şeyler üretip yeni keşifler yapmaya çalışırız. Örneğin, asal sayılar hakkındaki pek çok soru günümüzde hala cevaplanamamaktadır. Asırlardır asal sayılar üzerinde birçok teorem ortaya atılmış ve ispat edilmiştir. Asal sayıların bulunması için çeşitli formüller üretilmeye çalışılmış fakat hala sırrını çözemediğimiz boşluklar vardır. Sayılar Teorisi'nin en önemli uğraşıları arasında asal sayılar hakkındaki bu tür sorunlar gelir.

Matematik öğretmenlerinin sıklıkla duyduğu “Asal sayılar gerçek hayatta ne işimize yarayacak?” sorusuna rağmen bu sayıları kriptolojide, bilgisayar programlamada, güvenlik sistemlerine kadar birçok alanda kullanıyor olmamız keşfetme isteği ve merakla nelerin üretilebileceğini göstermektedir. Bu sorunların çözümlerini ilk kimler bulacak kimler yeni keşifler yapacak göreceğiz. İlk Lehmer Sieve ‘de bu amaca hizmet etmek üzere tasarlanmış ve günümüzdeki bilgisayarların ilkel atası bizi gelecekte neler göreceğimiz konusunda heyecana sürüklemektedir. Merak ve keşfetme isteği oldukça gelecekte bizi çok farkı şeylerin beklediğini hepimiz açıkça görebiliriz.

Kaynak:

►Berkeley
►Agentsofguard
►Ed-thelen
►utherforfjournal