Herşeyde Bir Sinüs Var |
Fourier Serisi

Elektrikle uğraşan herkes sinüs fonksiyonunun önemini bilmekte. Sinüs o kadar çok sihirli özelliklere sahip ki elektrikte onu da kullanmadan edemiyoruz. Biz bu yazımızda yine sinüsün ne kadar önemli bir fonksiyon olduğunu kanıtlayan Fourier serilerinden bahsedeceğiz. Fourier serisi nedir? Elektrikte neden bu kadar önemli? Fourier serilerinin harmonikler ile ne gibi bir bağlantısı var? Hepsinin cevaplarını yazımızda bulabilirsiniz.

A- A+

30.05.2014 tarihli yazı 70350 kez okunmuştur.

Fourier Serisi Josep Fourier Fourier Teoremi Harmonikler Harmonik Analizi Elektrik Şebekesi Sinüs Fonksiyonu Sinüsoidal Gerilim Ortalama Değer

Elektriği alternatif olarak sinüsoidal üretiyor, iletiyor ve dağıtıyoruz. Yani elektrik şebekemizi sinüsoidal kullanıyoruz. Elektrik dağıtım şebekesinde gerilim sinüs şeklindedir. Aynı şekilde şebekeden çekilen akımın da sinüs şeklinde olması beklenir. Ancak lineer olmayan elemanlar ve sinüsoidal olmayan kaynaklar bizim sinüs olan dalga şeklimize bozucu etki etmektedir. Bu etkiler bizim gerilimin ve akımın dalga şeklinin sinüsten daha farklı bir duruma gelmesine neden olmakta yani harmonik oluşturmaktadır.

► Fourier serisi ve analizi nedir, nasıl bulundu?

Fransız fizikçi ve matematikçi Joseph Fourier, sinüsoidal olmayan ama periyodik bir fonksiyonun sinüs ve kosinüslerin sonsuz toplamı biçimde yazılacağını ifade etmiştir. Daha doğrusu sinüsoidal olmayan periyodik bir fonksiyonun genliği ve frekansı birbirlerinden farklı olan sinüsoidal dalgalara ayrılabileceğini belirtmiştir.

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830)

Joseph Fourier bu teoremi ilk olarak metal çubuk veya levhadaki ısı denklemlerinin çözümü için kullanmıştır. Isı denklemi diferansiyel bir denklemdir ve çözümü zordur. Fourier bu denklemi basitleştirerek sinüs ve kosinüsleri katsayılarla birbirine ekleyerek karmaşık bir ısı kaynağı oluşturmak hedefindeydi. Bu denklemlerin belli katsayılarla sonsuz toplamına da Fourier Serisi olarak adlandırılmaktadır.

Ancak J. Fourier bu teoremi ısı denklemlerine uyguladıktan sonra görülmüş ki teorem, daha geniş periyodik fonksiyonlara uygulanabilmekte. Euler, Jean le Rond d'Alembert ve Daniel Bernoulli’de bu teoremi daha da geliştirerek Fourier serilerinin modern halini almasını sağlamışlardır.

► İlginizi Çekebilir: Elektriği Neden Sinüsoidal Formda Kullanıyoruz?

► Bir fonksiyonun Fourier serisine açılabilmesi için gerekli şartlar neler?

Fonksiyonu Fourier serisine açmak için ilk önemli şart fonksiyon periyodik olmalı. Yani fonksiyonun bir periyot değeri olmalı ki belli periyot aralıklarında tekrarlanmalı. Ek olarak sonlu sayıda süreksizlik barındırmalı, sonlu sayıda maksimum ve minimum noktaları olmalı ve fonksiyonun ortalama değeri de bir sonlu değer almalı.

► Fonksiyonum önceki soruda belirttiğimiz şartları sağladı. Fonksiyonu Fourier serisine nasıl açacağım?

Fourier serisinin açılımı aşağıdaki şekildedir:

Seriyi açarsak şu hali alır:

Burada A₀, fonksiyonun ortalama değeridir. Sabit bir değerdir. Örneğin bir gerilimin veya akımın harmonik analizini yapacaksak gerilim veya akımın ortalama değeri A₀ :

Sistemimiz sinüs ise ortalama değer sıfırdır. Bazı literatürlerde sabit terim A₀/2 olarak da alınır. Eğer böyle alınırsa ortalama değeri yani sabit terimi bulurken formülün başındaki 1/T yerine 2/T yapmamız gerekmektedir.

Serideki diğer An ve Bn değerlerinin formülü de aşağıdaki verilmiştir:

► İlginizi Çekebilir: Elektrik Devrelerinin Çözümünde Kullanılan Graph Teorisi Nasıl Bulundu?

“1” indisi ile gösterilen birinci terime, temel bileşen adı verilir. Temel bileşen aynı zamanda tam sinüsoidal dalgaya karşılık düşen dalgayı belirler. 2, 3, 4,..., n indisi ile gösterilen bileşenlere ise harmonik adı verilmektedir. A₁, A₂, A₃,….., A_n, B₁, B₂, B₃,….., B_n f(t) fonksiyonunun Fourier katsayılarıdır. Yine serideki n değeri ise 1, 2, 3,...,n (pozitif tam sayı) şeklinde giden harmonik mertebesidir.

► Harmonik analizinde Fourier serisinin önemi nedir?

Bilindiği gibi elektrik şebekemiz sinüs şeklinde. Günümüzde güç elektroniği teknolojisinin gelişmesiyle yarı iletken elemanları çok kullanır olduk. Yarı iletken elemanlar şebekemizde harmoniğe sebep olabilirler. Ayrıca şebekenin yükünün büyük bir bölümünü elektrik motorları kapsamakta. Yine elektrik motorları ve motor sürücüleri (içinde bir çok yarı iletken bulundurması sebebiyle) şebekeden harmonik içerikli akımlar çeker.

Sistemin ne tür harmonikler yarattığını öğrenmek çok önemli. Harmonikli fonksiyonlar kompleks fonksiyonlardır ve çözümü zordur. İşte burada yardımımıza Fourier analizi koşar. Harmonikli fonksiyonun nerelerde kaçıncı harmonik yaptığını öğrenmemiz gerekebilir. Özellikle şebekede ve transformatörlerdeki harmonik bileşenlerini analiz etmek için Fourier serisini kullanıyoruz. Fourier serisi sayesinde harmonikli bir gerilim veya akım fonksiyonunu (fonksiyon periyodik tabiki ama harmonikli yani bozuk bir sinüs gibi düşünebiliriz) farklı genlikte ve frekansta sinüs ve kosinüslerin toplamı biçiminde yazarak hangi anda nasıl bir harmonik yaptığını öğrenebiliriz.

► Fourier serisi başka hangi alanlarda kullanılmaktadır?

Fourier serisi elektrik ve elektronik mühendisliğinin yanında makine mühendisliğinde, haberleşme alanında, titreşim analizinde, akustiklerde, sinyal işlemesinde, tıpta ve hatta fizikte kuantum mekaniği gibi geniş bir bilim-teknoloji yelpazesinde kullanılmaktadır.

Fourier serilerinin fonksiyonlarda nasıl uygulandığını görmek istiyorsanız aşağıdaki videodan izleyebilirsiniz.