Matematiksel İmkansızlıklar

Evrende bir şeyin var olduğunu kanıtlamak için bir hipotez ortaya atarız. Hedefimiz bellidir. Bu hedef için bazı çalışmalar yaparız. Bu çoğu zaman kolay olur. Ancak var olmayan bir şeyi kanıtlayabilir miyiz? Ya da imkansızı bulabilir miyiz?

A- A+

28.02.2014 tarihli yazı 25573 kez okunmuştur.

İmkansızı kanıtlamak ile hangimiz uğraşmıştır? Birkaç deneme yapıp, yapamıyoruz demek doğru bir tercih midir? Tabikide hayır. Bu hipotezin hiçbir şekilde mümkün olmadığını ispatlamamız lazımdır. Her zaman karşımıza çıkmasa da bu tarz problemler bilim insanlarını oldukça zorlamakta ve çözümü yıllar almaktadır.

1) Antik Çağdaki İmkansız Problemler

Başlangıç olarak bir pergel ve ölçüsüz bir cetvel kullanıldığında;

• Verilen bir açı 3 parçaya bölünemez.

• Bir küpün hacminin iki katı değerindekibir başka küp çizemeyiz.

• Bir çemberinin alanı değerinde bir kare oluşturulamaz.

MÖ.500 yıllarında, Yunan tarihininde oluşan bu 3 problemin ulaşılmazlığı, bu problemler ortaya çıktıktan yaklaşık 2000 yıl sonra bulunmuştur. Çözmek için ise, cebirde, grup kuramının içinde yeralan Galois Kuramı kullanılarak yapılabilmektedir. Bu çizimleri gerçekleştirip, bu problemleri çözdüğünü düşünen bazı insanlar aşağıdaki hatalara düşmektedir;

1. Çizim esnasında, pergeli çember çizmek amacıyla, cetveli de sadece düz çizgi çizmek için kullanabiliriz. Haraket edenler açıyı üçe bölebilir fakat bazı hatalar oluşmaktadır.

2. Bazı insanlar bu kurallara uyarak bazı açıları gerçekte 3’e bölmeyi başarabiliyor. Burada bahsedilen açılar 90-180 arasındaki açılardır. Ancak elimizdeki teorem, verilen herhangi bir açının üçe bölünemeyeceğinden bahsetmektedir. Bu, “hiçbir açıyı üçe bölümeyiz” teorisinden ziyade, “her açıyı üçe bölemeyiz” şeklinde değiştirilmektedir.

► İlginizi Çekebilir: Hawking Işıması Nedir? | Kuantum Dersleri

Bu üç imkansız problem, 1837'de Fransız matematikçi Pierre Laurent Wantzel tarafından ispatlanmıştır.

2) Doğal Sayılar İle Gerçel sayılar Arasında Birebir Eşleme İşleminin Gerçekleşmesi Mümkün Değildir

Bu oldukça karışık bir problem ve bu problemi anlamak için önce, birebir eşleme kavramının ne anlama geldiğini iyice anlamamız gerekmektedir. Birebir eşleme işlemi, iki küme arasında oluşturulur. İki küme birebir eşlenebilir, fakat eşleme yapılacak kümedeki her bir elemana diğer kümeden karşılık gelecek bir eleman olursa. Buradan çıkacak sonuçların ilki, her kümenin kendisi ile birebir eşlenebileceğidir. Bu teoremi ispatlamak içinde, her elemanı kendine gönderen bağıntıyı seçersek bu yeterli olacaktır.

► Doğal sayılar aynı şekilde kendisinin bir alt kümesi olan çift sayılar kümesiyle birebir eşlenirse:

► İlginizi Çekebilir: Matematiğin Sihri: “Mathemagic” | TED Hikayeleri

Buna benzer bir eşleme işlemi, rasyonel sayılar ile doğal sayılar arasında da yapılabilir. Ancak kimse gerçel sayılarla, doğal sayılar arasında birebir eşleme yapamamıştır. 1874’de George Cantor bunu ispat etmiştir.

3) Doğru mu? Yanlış mı? Asla Belli Olmayan Varsayım: Süreklilik Hipotezi

Ünlü Matematikçi George Cantor tarafından, sonsuzları hiyerarşik sıraya sokan bir deney yapılmıştır. Bu çalışmaya göre, sonsuz kavramı: Eğer ki bir koleksiyon bir alt koleksiyonu ile birebir eşitlenebiliyorsa o koleksiyon sonsuz kabul edilir ya da sonsuz eleman içerir denilebilir. Matematikte öncelikle saymaya başladığımızdan aklımıza gelen ilk sonsuzluk haliyle doğal sayıların sonsuza gittiğidir. Doğal sayıların alt kümesi olan çift sayılar ve tek sayılar da sonsuz tanedir. Bu iki küme, birbiri ile eşlenebilir. Benzer bir eşleme, gerçel sayılarla doğal (ya da rasyonel) sayılar arasında yapılamamaktadır. Bu da gerçel sayıların başka bir sonsuz olduğunu akıllara getiriyor.

Sözü geçen durumda, ilk sonsuzluk doğal sayılar ve ikinci sonsuzluk ise reel sayılar olmaktadır. Bu sonsuzluklar İbranice’de Alef (א) harfi ile ifade edilir. Doğal sayılar 0 iken gerçel sayılar 1 olmaktadır. Aklımıza takılan en büyük sorun şudur: Sonsuz sayıda eleman içeren öyle bir küme olsun ki; eleman sayısı 0’dan büyük, 1’den küçük olsun. Süreklilik Hipotezi, bu tarz bir kümenin var olamayacağını bize söylemektedir. 1963 yılında matematikçi Paul Cohen’in hem bu ifadenin hem de zıttının, küme kuramı aksiyomları ile tutarlı olduğunu ispatlaması ile akıllarda şu ifade kaldı: bu ifade ile, küme kuramı yazılırken en başta doğru ya da yanlışlığı tartışılmadan kabul edilen ifadeler gibi kabul görürler. Varlığı mevcut aksiyomlar ya da onlardan çıkan teoremler kullanılarak ispatlanamaz.

4) Fermat'ın Son Teoremi

Tarihte “Fermat’ın Son Teoremi” olarak kalmış bu teorinin sahibi olan Fermat, gerçekte bir avukattı fakat matematiğe inanılmaz bir ilgisi vardı. Avukat olmasına rağmen günümüzdeki pek çok sayı kuramcı, onun matematik konusunda kendisinden bile iyi olduğunu açıkça söylemektedir. Fermat, üzerinde çalıştığı kitap Diaphontus’un, Aritmetika’sının kenarına pek çok not almış ve teorem ispatlamıştı. Bu notlardan birinin, bilim dünyasının 350 yıl kadar kafasını karıştıracağını tahmin edebilir miydiniz?

► Fermat'ın Son Teoremi:

xn + yn = zn ifadesindeki (x,y,z) üçlüsünün n > 2 ve n N olarak tanımlanan hiçbir n için (önemsiz) tam sayı çözümü yoktur.

Teoremdeki önemsiz sözcüğü ilginizi çekebilir. Örneğin (0,0,0); (1,0,1) ya da (0,1,1) bu ifade için 3 farklı çözümdür ama Fermat bu tarz basit çözümlerle ilgilenmiyor.

Fermat bu hipotezin altına bir de not iliştirmiş:

“Çok güzel bir ispat buldum ama buraya yazmak için yeterli yok”