Sinyal İşlemede Matematiksel İşlemler

Fiziksel köke bağlanan alanlar, antenler, mikrodalga, devreler-sistemler, güç elektroniği sistemleri ve biyomedikal iken, matematiksel köke bağlı olan alanlar haberleşme, kontrol, sinyal işleme, devreler-sistemler ve bilgisayar sistemleridir. Sinyal işleme birçok matematiksel işlem içerir. Sinyal işlemede temel işlemlerden olan çarpma, diferansiyel, entegrasyonu sizler için derledik.

A- A+

20.04.2017 tarihli yazı 17965 kez okunmuştur.

Çarpma

Bağımlı değişken üzerinde yapılan temel işlemlerden biride çarpımdır. Bu durumda, tahmin edilen şekilde, yeni sinyali elde etmek için iki veya daha fazla sinyal çarpılır.

Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilebilir:

Sürekli zaman sinyalleri x1 (t) ve x2 (t) için y(t) = x1(t) × x2(t)
Ayrık zamanlı sinyaller için x1 [n] ve x2 [n] y[n] = x1[n] × x2[n]

Şekil 1'de sırasıyla (a) ve (b) 'de gösterilen iki ayrık zaman sinyali x1[n] ve x2 [n]' nin çarpımı ile elde edilen ayrık zaman sinyali y[n] 'yi göstermektedir.

Şekil 1: İki ayrık zaman sinyali üzerinden gerçekleştirilen çarpma işlemi

Burada, n= -0.8'de ki y[n] değeri, n= -0.8'deki x1[n] ve x2[n] değerlerinin çarpımına eşit olan 0,17 olarak görülmektedir; bu sonuçlar 0.75 ve 0.23'tür. Başka bir deyişle, yeşil noktalı kesikli çizgi boyunca izlenerek, biri 0.75 × 0.23 = 0.17 olur.

Benzer şekilde, x1[n], x2[n] ve y[n] değerlerini bulmak için mor renkli noktalı kesik çizgiyle (n = 0.2'de) hareket edersek, bunlar sırasıyla -0.94, 0.94 ve -0.88 olur. Aynı şekilde burada da, -0.94 × 0.94 = -0.88 olur ki bu da x1 [0.2] × x2 [0.2] = y[0.2] anlamına gelmektedir.

Böylece çarpma işleminin orijinal sinyallere karşılık gelen değerlerin çarpımı ile elde edebilen bir sinyal ürettiğini söyleyebiliriz. Bu, sürekli veya ayrık zamanlı bir sinyalle uğraşmamıza bakılmaksızın geçerlidir.

Pratik durum

Sinyallerin çarpımı, genlik modülasyonunu (AM) gerçekleştirirken analog iletişim alanından istifade edilir. AM'de mesaj sinyali taşıyıcı sinyal ile çarpılarak modüle edilmiş bir sinyal elde edilir.

Sinyal çarpmasının önemli bir rol oynadığı bir başka örnek, RF (radyo frekansı) sistemlerinde frekans kaymasıdır. Frekans kayması, RF iletişiminin temel bir unsurudur ve bir analog çarpana benzeyen bir karıştırıcı kullanılarak gerçekleştirilir.

Diferansiyel

Sinyal işlemede önemli olan bir sonraki sinyal işlemi de diferansiyeldir. Bir sinyal, değişim hızını belirlemek için diferansiyeli alınır. Yani, x(t) sürekli zaman sinyali ise, o zaman onun türevi, ile çıktı sinyali gösterilir.

Şekil 2, diferansiyeli alınan bir sinyalin örneğini göstermektedir. Şekil 2(a)’da parabolün türevini göstermektedir. Şekil 2(a), t = 0'dan 2'ye uzanan ve Şekil 2(b)' de eğimli olacak şekildedir ve bu değerler 0'dan 4'e değişmektedir. İlk türev Şekil 2(a) 'da ki t=2'den 6'ya uzanan eğim, Şekil 2(b)'de 1 sabit bir genlik olduğu gösterilmiştir.

Şekil 2: Özgün bir sinyal ve onun diferasyonu

Diferansiyasyon işleminin sürekli zamanlı sinyallerle sınırlı olmayıp ayrık zamanlı sinyaller için de geçerlidir. Ayrıca, bir sinyalin birden fazla kez diferansiyeli alınabilir. Örneğin orijinal bir sinyali ayırt etmek "ilk diferansiyele" yol açar ve bu birinci diferansiyasyon "ikinci diferansiyeli" üretir.

Pratik durum

Bir sinyalin diferansiyeli, görüntü veya video işleme alanında gradyan operatörü biçimini alır. Görüntü işleme söz konusu olduğunda, gradyan tekniği verilen resimdeki kenarları algılamak için kullanılan popüler bir yöntemdir. Video işlemi ile bu operatör hareket algılaması için kullanılır. Bu tür bir işleme, robotik alanında önemlidir.

Buna ek olarak, havacılık sistemleri gibi birçok kontrol ve izleme uygulamaları, gerçek zamanlı diferansiyasyon faydalanmaktadır. Bunun nedeni, bu uygulamaların hız ve ivmeye ilişkin oldukça doğru verileri gerektirmesidir. Diferasyonu kullanarak, bu veriler doğrudan konum sensörlerinden elde edilebilir. Bu da diğer sensörlere olan ihtiyacı azaltır.

Entegrasyon

Entegrasyon, diferansiyelin benzeridir. Bir sinyali x(t) olarak entegre edersek, sonuç y(t) = integral(x(t)) olarak temsil edilir.

Şekil 3'te, t = 0'dan 2'ye uzanan bir eğimden ve t = 2'den 5'e değişen sabit bir değerden oluşan bir bileşik sinyal entegre edilmiştir. Elde edilen çıktı Şekil 3(b) 'de gösterilmektedir; Eğimin entegrasyonu parabol (t = 0'dan 2'ye uzanan) ile sonuçlandı ve sabit değerin entegrasyonu eğim oluşturdu (t = 2 ila 5 arasında değişen).

Diferansiyasyon arttıkça, bir sinyali birden çok kez entegre edebiliriz.

Şekil 3: Entegrasyon işlemi

Pratik durum

Fourier dönüşümü, korelasyon ve konvolüsyon gibi sinyal işleme operasyonlarında entegrasyon esastır. Bunlar, bir sinyalin farklı özelliklerini analiz etmek için kullanılırlar.

Entegrasyonu kullanan diğer uygulamalar, küçük giriş akımlarının entegrasyon yoluyla daha büyük çıktı voltajlarına dönüştürüldüğü uygulamalardır. Şarj yükselteçleri piezoelektriksensörler, fotodiyotlar ve CCD görüntüleyiciler ile birlikte kullanılır. Ayrıca, yük amplifikatörleri hız ölçer çıkışını, hız ve yer değiştirme sinyallerine dönüştürmek için kullanılabilir. Çünkü ivme entegrasyonu hız oluşturur ve hız entegrasyonu yer değiştirmeyi sağlar.

Kaynak:

► AllAboutCircuits