Nyquist-Shannon Teoremi Nedir?

Nyquist teoremi analog sinyallerin sayısallaştırılmasında kullanılan bir yöntemdir. Günümüzde kullandığımız modern teknolojiyi analog-dijital, dijital-analog dönüşümler olmadan düşünmek neredeyse imkansızdır. Peki biz bu işlemi nasıl yapıyoruz, örneklenmiş sistemleri nasıl analiz ediyoruz? Sorunun cevabına yazımızın devamında birlikte bakalım.

A- A+

03.06.2020 tarihli yazı 22159 kez okunmuştur.

Nyquist Nyquist-Shannon Analog Dijital Örnekleme Bant Genişliği

Örnekleme teoremi olarak da bilinen Nyquist teoremi yaklaşık 100 yıldır analog sinyallerin dijitalleştirilmesinde kullanılıyor. Bu teorem nereden geldi, öncelikle bu soruya cevap bulalım. Çok uzun yıllardan bu yana kullandığımız telefon hatları bakır teller kullanılarak inşa edildi. Bu teller tüm binalar, mahalleler arasında iletişimi kolaylaştırmak için merkez bir ofise bağlandı. Bunca insan sesini biribirine analog sinyaller taşıdı. Teknoloji geliştikçe, insanlar arayışa girdikçe analog sinyalleri bir dizi sıfıra dönüştürme ihtiyacı doğdu. Ve dijitale geçiş başladı. Bu sayede ağların iletişim kapasiteleri arttı.

Harry Nyquist ise bilgi aktarımını sağlamak için bant genişliğinin belirlenmesi gerektiğini buldu ve bu konuda çalışmalar yapmaya başladı. Nyquist yaptığı çalışma ile analog sinyal dalgasının eşit zaman aralıklarında örneklenerek dijitale nasıl döndürülebileceğini keşfetti. İşte Nyquist teoremi tam da bu noktada devreye girdi. Bu çalışmalar analog bir sinyalin hiçbir bilgi kaybı olmadan nasıl dijitale çevirileceğini göstermiş oldu.

Şekil-1

Şekil-2

Zaman Domeninde Örnekleme Teorisi

Bir analog sinyal için en yüksek frekans bileşeninin _fmaksolduğunu varsayalım, Nyquist teoremine göre numune alacağımız sinyal en az f_numune≥ 2f_sinyal’e örneklenmelidir. Her bir sinusoid döngüsü başına iki adet örneğe ihtiyacımız vardır.

Şekil1’ deki örnekte gördüğümüz gibi sinusoid, sinyal frekansından daha yüksek bir frekansta örneklenmiştir. Burada daireler örnekleme anını ve analog voltajın sayıya dönüşümünü ifade eder.

Şekil-3

►İlginizi Çekebilir: Sayısal İşaret İşleme Konvolüsyon

Şekil 3’de gördüğümüz düz çizgi orjinal sinyaldir ve örnekleme frekansına göre daha yüksektir. Dairelerle gösterilen kısımlarda voltaj ölçülür ve kesin bir sayıya dönüştürülür.

Şekil-4

Şekil 4’te gördüğümüz düz çizgi orjinal sinyali göstermektedir ve şekilde gördüğümüz gibi örnekleme frekansı sinyal frekansına göre oldukça yüksektir.

Şekil-5

Şekil 5’te örnekleme frekansı düşürüldüğünü görmekteyiz. Bu noktada çevrim başına 20 örnek, yani f_numune= 20f_sinyal eşitliğini sağlamaktayız.

Şekil-6

Şekil6’da çevrim başına 10 örnek, yani f_numune= 10f_sinyal eşitliğini görmekteyiz.

Şekil-7

Şekil 7’de çevrim başına 5 örnek, yani f_numune= 5f_sinyal eşitliği ile sürekli zaman dalga formu yapısı bozulmaktadır. Fakat ayrık zaman dalga formu frekansı tanımlanabilir durumdadır.

Eşik: Döngü Başına İki Örnek

Döngü başına ürettiğimiz örnek sayısı beşin altına düştükçe analog sinyal yapısı korunmaya devam edecektir fakat aynı zamanda frekans bilgileri de giderek bozulacaktır.

Şekil-8

►İlginizi Çekebilir: Sinyal İşleme Nedir?

Çevrim başına iki numune, yani f_örnek= 2f_sinyalile sinusoidal şekil kaybolur. Şekil 8’de gördüğümüz gibi örneklenen veri noktaları ile oluşan üçgen dalga frekansı, orjinal sinyal frekansı ile aynı olmaktadır. Fakat örnekleme frekansını döngü başına iki numuneden az olduğu noktaya indirirsek bu yapıyı elde edemeyiz.

Bu sebeple orjinal dalga formunda en yüksek frekansta döngü başına iki örnek, karışık sinyaller ile uğraşacaksak bizim için eşik olmalıdır ve bu noktada karşılık gelen örnekleme frekansına Nyquist oranı denilmektedir. Analog sinyalimizi Nyquist oranından daha düşük bir frekansta örneklersek orjinal sinyalimizi istediğimiz şekilde yapılandıramayız.

Şekil-9

Şekil-10

Şekil 9 ve şekil 10’da gördüğümüz grafikler de Nyquist oranının altına düştüğümüzde meydana gelen bozulmayı göstermektedir. Şekil 10’da çevrim başına 1,9 numune ile ayrık zamanlı dalga davranışının yeni bir yapıya büründüğünü görmekteyiz.

Şekil-11

Şekil 11’de çevrim başına 1,1 numune alınmıştır. Eğer analiz şekil 11’deki ayrık zamanlı dalga formu kullanılarak yapılırsa, orjinal sinyal frekansı hakkında ciddi hatalar meydana gelecektir. Bunun yanında elimizde sadece veriler var ise frekans özelliklerinin bozulduğunu anlamamız imkansız hale gelecektir. Bu örneklemede orjinal sinyalde olmayan bir frekans meydana gelmiş olacaktır.